Grasshoppe怎么用？Grasshopper小程序生成极致曲率倒角的方法(grasshopper是什么意思)

文章来源微信公众号：闲渊斋

本文将以日本设计师原研哉设计的某品牌图标为例，阐述以Grasshopper小程序生成极致曲率倒角的方法。

根据前文所述内容，Rhino中曲线的连续性与曲率有关，从低到高依次可分为不连续，G0位置连续，G1相切连续，G2曲率连续，G3曲率变化率连续等。

推广到曲面上，三维曲面之间倒角的顺滑程度亦由连续性决定，如下图。

为获得曲率影响下的倒角图形形态，需采用Grasshopper编写相应程序。

本例中，已知生成该曲率倒角图形的数学表达式为|x|^n+|y|^n=1.

依据数学知识，此函数是绝对值函数和幂函数构成的复合函数(composite function).

首先，分类讨论该函数在n取不同特殊值时的情况。

i) 当n=1时，该函数为|x|+|y|=1.

等价于分段函数

x+y=1(x>0,y>0);

-x+y=0(x<0,y>0);

-x-y=0(x<0,y<0);

x-y=0(x>0,y<0).

以Grasshopper小程序绘制其在第一象限内的图像。其中，Range运算器用以构造函数的定义域，其N端决定了取点个数。Construct Point运算器用于生成指定坐标的点。

ii) 当n=2时，该函数为x^2+y^2=1，即一个单位圆.

移项，得y=√(1-x^2)=(1-x^2)^(1/2).（开平方根运算与二分之一次幂等价）

以Evaluate运算器，可绘制其Expression输入端输入的表达式（在第一象限的）函数图形。

在Grasshopper中，以pow(x,n)函数表示x^n的值。因此，y=√(1-x^2)的表达式等价于pow(1-x^2,1/2).

用ConstructPoint运算器，配对Range运算器生成的每个x值 和 Evaluate运算器所生成 的y值，描点作图。

此时，可观察到图形布点不均匀。

原因如下：

根据复合函数求导的链式法则，得 y'=(1/2)(1-x?)^(-1/2)* (1-x?)'=-x/√(1-x?).

由此可知，由于x的取值均匀地等分函数的定义域。随着曲率变化，x的取值越趋近于1，相邻两点间Δy的值越大。

因此，在Range运算器后添加一个Graph mapper运算器，对x取值的分段手动微调，尽量使点均匀分布。

iii) 当n为任意常数时，函数在第一象限的表达式为y=pow(1-x^n,1/n)(n>0).

根据绝对值函数的性质，通过将第一象限函数的图像进行线性变化，即可得其他三个象限中的函数图像。

negative运算器是将输入的数值取其相反数输出的运算器，如3→-3。

由上到下，分别构造四个象限中(x,y)的取值，分别为(x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y).

随后，并将输出结果以Merge运算器合并，注意Merge的D2,D4输入端的数据结构须Reverse.

在Merge运算器的输出端，连接 Set(创造集合), Interpolate(内插点曲线), Boundary surface(边线成面)运算器，使图形的边线成面。

完整的Grasshopper小程序如下。

调节与Evaluate运算器n输入端相连的滑块，即可得到对应曲率下的倒角图形。